設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+(a2-3)x+1

(1)若函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(m,n),且{x|x<0}∩{m,n}≠∅.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)由題意可得f'(x)=x2-ax+(a2-3)≥0在R上恒成立,故△=a2-4(a2-3)≤0,由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)由題意可得f'(x)=0的兩根為m,n且m,n中至少有一個(gè)負(fù)根,故有f'(0)<0,或
△=a2-4(a2-3)>0
a
2
<0
f′(0)≥0
,由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)∵f'(x)=x2-ax+(a2-3),函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
∴f'(x)=x2-ax+(a2-3)≥0在R上恒成立.(3分)
∴△=a2-4(a2-3)≤0,
∴a≤-2或a≥2,即a∈(-∞,-2]∪[2,+∞).(6分)
(2)∵f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(m,n),且{x|x<0}∩{m,n}≠?.
∴f'(x)=0的兩根為m,n且m,n中至少有一個(gè)負(fù)根.(8分)
∴f'(0)<0,或
△=a2-4(a2-3)>0
a
2
<0
f′(0)≥0
,(10分)
a∈(-2,
3
)
,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (-2,
3
)
.(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),過原點(diǎn)的直線與函數(shù)f(x)的圖象相切于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng)0<a<
1
2
時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)a=
1
3
時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2bx-
5
12
,若對于?x1∈(0,e],?x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底,e<
3
+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•株洲模擬)設(shè)x0是函數(shù)f(x)=(
1
3
)x-log2x
的零點(diǎn).若0<a<x0,則f(a)的值滿足( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
3
)
x
-8(x≤0)
x
     (x>0)
,若f(a)>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
a>1或a<-2
a>1或a<-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
(a-1)x3-
1
2
ax2+x
(a∈R)[
(Ⅰ)若y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于
1
4
,求a的值;
(II)當(dāng)a<2時(shí),討論f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
3
)
x
-8(x<0)
x
(x≥0)
,若f(a)>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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