Question

如圖，E是以AB為直徑的半圓O上異于A、B的點，矩形ABCD所在的平面垂直于半圓O所在的平面，且AB=2AD=2a．
（Ⅰ）求證：EA⊥EC；
（Ⅱ）若異面直線AE和DC所成的角為

π

6

，求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明EA⊥EC，只需證明EA⊥平面EBC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出E的坐標，可得平面DCE的一個法向量、平面AEB的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABCD垂直于圓O所在的平面，兩平面的交線為AB，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC垂直于圓O所在的平面．
又EA在圓O所在的平面內(nèi)，
∴BC⊥EA．
∵∠AEB是直角，∴BE⊥EA，
∴EA⊥平面EBC，∴EA⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，以點O為坐標原點，AB所在的直線為y軸，過點O與BC平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系．
由異面直線AE和DC所成的角為

π

6

，AB∥DC知∠BAE=

π

6

，
∴∠BOE=

π

3

，
∴E（

3

2

a，

1

2

a，0），
由題設(shè)可知C（0，a，a），D（0，-a，a），
∴

DE

=（

3

2

a，

3

2

a，-a），

CE

=（

3

2

a，-

1

2

a，-a）．
設(shè)平面DCE的一個法向量為

m

=（x，y，z），則

3 2 ax+ 3 2 ay-az=0 3 2 ax- 1 2 ay-az=0

，
取

m

=（2，0，

3

）．
又平面AEB的一個法向量為

n

=（0，0，1），∴cos＜

m

，

n

＞=

3

7

=

21

7

．
平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值

21

7

．…（13分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，面面角，考查向量方法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．