Question

【題目】集合、為的一個等濃二分劃（即，，且.記集合中所有數(shù)的積為，集合中所有數(shù)的積為，稱為的等濃二分劃的特征數(shù).證明：

（1）集合的等濃二分劃的特征數(shù)一定為合數(shù)；

（2）若等濃二分劃的特征數(shù)不為2的倍數(shù)，則該特征數(shù)為的倍數(shù).

注：有限集合的元素個數(shù)簡記為.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）集合中的2014個數(shù)恰有1007個偶數(shù)，1007個奇數(shù).

若全部偶數(shù)不全在、的同一個集合中，則、每個集合中均含偶數(shù).

于是，與被2整除.

因此，被2整除.

若全部偶數(shù)均在、的一個集合中，不妨設(shè)集合的1007個元素全為偶數(shù)，則集合的1007個元素全為奇數(shù).

顯然，集合中包含偶數(shù)6，集合中包含奇數(shù)3.

于是，與均為3的倍數(shù).

因此，被3整除.

因為，所以，為合數(shù).

（2）已知不為2的倍數(shù).則為奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)、一個為奇數(shù)一個為偶數(shù).

不妨設(shè)為奇數(shù).則集合的元素只能是這1007個奇數(shù).

注意到，.

在集合中含有因數(shù)31的數(shù)記為.

因為中含兩個因數(shù)31，所以，集合中含因數(shù)31的共有34個.

從而，在集合中型的數(shù)中除去，含有因數(shù)13的數(shù)超過34個.

類似地，在集合中型的數(shù)中除去和，含有因數(shù)5的數(shù)遠遠超過34個.

于是，.

集合的元素只能是這1007個偶數(shù).

注意到，.

在集合中含有因數(shù)31的數(shù)記為

.

因為中含兩個因數(shù)31，所以，集合中含因數(shù)31的共有33個.

從而，在集合中型或型的數(shù)含的因數(shù)5和13各自均多于33個.

于是，.

因此，，即.