Question

過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，已知

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)動直線y＝kx＋m與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0)，使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

Answer 1

解：(1)∵A(－a,0)，設(shè)直線方程為y＝2(x＋a)，B(x₁，y₁)．

令x＝0，則y＝2a，∴C(0,2a)，

∴x₁＋a＝(－x₁)，y₁＝(2a－y₁)，

整理，得x₁＝－a，y₁＝a.

∵B點(diǎn)在橢圓上，

∴＝，

∴＝，即1－e²＝，

∴e＝.

(2)∵＝，可設(shè)b²＝3t，a²＝4t，

∴橢圓的方程為3x²＋4y²－12t＝0.

由得

(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12t＝0.

∵動直線y＝kx＋m與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)P，

∴Δ＝0，即64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12t)＝0，整理得m²＝3t＋4k²t.

設(shè)P(x₁，y₁)，

又Q(4,4k＋m)，x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0)，使得PM⊥QM，

∴·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立．

整理，得3＋4k²＝m²，

∴3＋4k²＝3t＋4k²t恒成立．

故t＝1，所求橢圓方程為＋＝1.