Question

14．若等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足a_n+1=a₁S_n+3（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的公比為4．

Answer 1

分析 首先利用作差法求出首項a₁與公比q的等量關系，然后取特殊值n=1，再解a₁的方程求得a₁，進一步求出a₂，則公比可求．

解答 解：由a_n+1=a₁S_n+3  ①，得
a_n+2=a₁S_n+1+3  ②，
②-①，得a_n+1（q-1）=a₁a_n+1，
即a₁=q-1，亦即q=1+a₁，
∴當n=1時，a₂=a₁S₁+1，
則有a₁q=a₁²+1，即a₁（1+a₁）=a₁²+1，
解得a₁=1，
∴${a}_{2}={{a}_{1}}^{2}+3$=4．
則$q=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=4$．
故答案為：4．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的通項公式的求法，是基礎的計算題．