Question

10．已知集合A={x|log₂（4x）•log₄$\frac{4}{{x}^{2}}$≥2}，求函數(shù)y=4^2x+1+4^x（x∈A）的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算便可由集合A得到log₂x（log₂x+1）≤0，解該不等式便得到$\frac{1}{2}$≤x≤1，從而可得到4^x的范圍，可設(shè)4^x=t，t的范圍由4^x的范圍得出，這便得到y(tǒng)=4t²+t，根據(jù)該二次函數(shù)的單調(diào)性便可得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：$lo{g}_{2}（4x）•lo{g}_{4}\frac{4}{{x}^{2}}=（2+lo{g}_{2}x）$$[\frac{1}{2}（2-2lo{g}_{2}x）]$=-log²₂x-log₂x+2≥2；
∴l(xiāng)og₂x（log₂x+1）≤0；
∴-1≤log₂x≤0；
∴$\frac{1}{2}≤x≤1$；
∴2≤4^x≤4；
y=4•4^2x+4^x，設(shè)4^x=t，2≤t≤4，則：y=4t²+t，設(shè)y=f（t）；
f（t）在[2，4]上單調(diào)遞增；
∴f（2）≤f（t）≤f（4）；
∴18≤f（t）≤68；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇18，68]．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)的換底公式，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，換元法求函數(shù)值域，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域．