Question

已知函數(shù)f（x）=|ax-2|+blnx（x＞0，實(shí)數(shù)a，b為常數(shù)）．
（1）若a=1，f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若a≥2，b=1，求方程f(x)=

1

x

在（0，1]上解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）f(x)=|x-2|+blnx=

-x+2+blnx，(0＜x＜2) x-2+blnx，(x≥2)

①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）=-x+2+blnx，f′（x）=-1+

b

x

．
由條件，得-1+

b

x

≥0恒成立，即b≥x恒成立．
∴b≥2
②當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x-2+blnx，f'（x）=1+

b

x

．
由條件，得1+

b

x

≥0恒成立，即b≥-x恒成立
∴b≥-2
∵f（x）的圖象在（0，+∞）不間斷，
綜合①，②得b的取值范圍是b≥2．
（2）令g(x)=|ax-2|+lnx-

1

x

，即g(x)=

-ax+2+lnx- 1 x ，(0＜x＜ 2 a ) ax-2+lnx- 1 x ，(x≥ 2 a ).

當(dāng)0＜x＜

2

a

時(shí)，g(x)=-ax+2+lnx-

1

x

，g′(x)=-a+

1

x

+

1

x2

，
∵0＜x＜

2

a

，∴

1

x

＞

a

2

，則g′(x)＞-a+

a

2

+

a2

4

=

a(a-2)

4

≥0
即g'（x）＞0，∴g（x）在(0，

2

a

)上是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)x≥

2

a

時(shí)，g(x)=ax-2+lnx-

1

x

，g′(x)=a+

1

x

+

1

x2

＞0
∴g（x）在(

2

a

，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)．
∵g（x）的圖象在（0，+∞）上不間斷，
∴g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∵g(

2

a

)=ln

2

a

-

a

2

，而a≥2，∴ln

2

a

≤0，則g(

2

a

)＜0．g（1）=|a-2|-1=a-3
①當(dāng)a≥3時(shí)，
∵g（1）≥0
，∴g（x）=0在（0，1]上有惟一解．
即方程f(x)=

1

x

解的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
②當(dāng)2≤a＜3時(shí)，
∵g（1）＜0，
∴g（x）=0在（0，1]上無解．
即方程f(x)=

1

x

解的個(gè)數(shù)為0個(gè)．