Question

已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩個動點，O是坐標原點，向量，滿足，設(shè)圓C的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0．
（1）證明線段AB是圓C的直徑；
（2）當圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為時，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩個向量模長之間的關(guān)系，兩邊平方，移項合并得到數(shù)量積為零，用坐標表示出來，根據(jù)點是圓上的點，得到線段垂直，從而數(shù)量積為零，把兩個式子進行比較，整理得到結(jié)果．
（2）根據(jù)兩個點是拋物線上的點，把點的坐標代入拋物線方程，整理變化得到圓心的軌跡方程，表示出圓心到直線的距離，根據(jù)二次函數(shù)的最值得到結(jié)果，本題考查運算能力．
解答：解：（1）∵向量，滿足，
∴=
即=
整理得
∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴=（x₁，y₁），=（x₂，y₂）
∴x₁x₂+y₁y₂=0①
設(shè)點M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，
則
即（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0
展開上式并將 ①代入得x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0
故線段AB是圓C的直徑．
（Ⅱ）設(shè)圓C的圓心為C（x，y），
則x=，y=
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），
∴x₁x₂=
又∵x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂=-y₁y₂
∴-y₁y₂=
∴y₁y₂=-4p²
∴x==（y₁²+y₂²）
=（y₁²+y₂²+2y₁y₂）-
=（y²+2p²）
∴圓心的軌跡方程為：y²=px-2p²
設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d，，則
d=
=
=
當y=p時，d有最小值，
由題設(shè)得?=
∴p=2
點評：本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．本題是一個綜合題，考查的知識點比較多，是一個難題．