【題目】已知拋物線L:()的焦點為F,過點的動直線l與拋物線L交于A,B兩點,直線交拋物線L于另一點C,直線的最小值為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過點A作y軸的垂線m,則x軸上是否存在一點,使得直線PB與直線m的交點恒在一條定直線上?若存在,求該點的坐標及該定直線的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在,,.
【解析】
(1)顯然當軸時,取得最小值,可得,即可得到所求拋物線方程;
(2)假設軸上存在一點,,使得直線與直線的交點恒在一條定直線上.設,,,,直線的方程為,聯立拋物線方程,運用韋達定理,由的方程和直線的方程,聯立求得交點,化簡可得所求定點和定直線.
(1)設直線的傾斜角為,
所以由拋物線()的焦點弦公式得,
所以當,即當軸時,取得最小值.
把代入可得,
故,,
可得拋物線的方程為:.
(2)假設軸上存在一點,,使得直線與直線的交點恒在一條定直線上.
設,,,,直線的方程為,
聯立拋物線方程,可得,
,,
直線的方程為即,
聯立直線,
可得,
由,,可得,,
即有,
由假設可得,
即,此時,
可得存在定點,定直線為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設關于的一元二次方程.
(1)若是從四個數中任取的一個數,是從三個數中任取的一個數,求上述方程有兩個不等實根的概率.
(2)若是從區(qū)間任取的一個數,是從區(qū)間任取的一個數,求上述方程有實根的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】西安市自2017年5月啟動對“車不讓人行為”處罰以來,斑馬線前機動車搶行不文明行為得以根本改變,斑馬線前禮讓行人也成為了一張新的西安“名片”.
但作為交通重要參與者的行人,闖紅燈通行卻頻有發(fā)生,帶來了較大的交通安全隱患及機動車通暢率降低,交警部門在某十字路口根據以往的檢測數據,得到行人闖紅燈的概率約為0.4,并從穿越該路口的行人中隨機抽取了200人進行調查,對是否存在闖紅燈情況得到列聯表如下:
30歲以下 | 30歲以上 | 合計 | |
闖紅燈 | 60 | ||
未闖紅燈 | 80 | ||
合計 | 200 |
近期,為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明及項違法行為,交警部門在該十字路口試行了對闖紅燈行人進行經濟處罰,并從試行經濟處罰后穿越該路口行人中隨機抽取了200人進行調查,得到下表:
處罰金額(單位:元) | 5 | 10 | 15 | 20 |
闖紅燈的人數 | 50 | 40 | 20 | 0 |
將統(tǒng)計數據所得頻率代替概率,完成下列問題.
(Ⅰ)將列聯表填寫完整(不需寫出填寫過程),并根據表中數據分析,在未試行對闖紅燈行人進行經濟處罰前,是否有99.9%的把握認為闖紅燈與年齡有關;
(Ⅱ)當處罰金額為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少;
(Ⅲ)結合調查結果,談談如何治理行人闖紅燈現象.
參考公式: ,其中
參考數據:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.132 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為迎接2022年冬奧會,某市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動,并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果,在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績,并作成如圖所示的莖葉圖:
(1)從參加培訓的學生中隨機選取1人,請根據圖中數據,估計這名學生考核為優(yōu)秀的概率;
(2)從圖中考核成績滿足的學生中任取3人,設表示這3人中成績滿足的人數,求的分布列和數學期望;
(3)根據以往培訓數據,規(guī)定當時培訓有效.請你根據圖中數據,判斷此次冰雪培訓活動是否有效,并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|. 設D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校在圓心角為直角,半徑為的扇形區(qū)域內進行野外生存訓練.如圖所示,在相距的,兩個位置分別為300,100名學生,在道路上設置集合地點,要求所有學生沿最短路徑到點集合,記所有學生進行的總路程為.
(1)設,寫出關于的函數表達式;
(2)當最小時,集合地點離點多遠?
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