Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BD=4，PD⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，二面角P-BC-D為60°．
（1）求證：BC⊥BD；
（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過D向PB作垂線，垂足為E，先證明出DE⊥平面PBC，利用線面垂直的性質(zhì)證明出DE⊥BC，根據(jù)PD⊥平面ABCD，推斷出PD⊥BC，繼而可利用線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PBD，進(jìn)而可知BC⊥BD；
（2）先證明出AD∥平面PBC，推斷點(diǎn)A到平面PBC的距離與點(diǎn)D到平面PBC的距離相等，繼而證明出DB的長(zhǎng)度即為點(diǎn)D到平面PBC的距離，證明出∠PBD為二面角P-BC-D的平面角，則DE可求．

解答： （1）證明：過D向PB作垂線，垂足為E，
∵平面PBC⊥平面PBD，平面PBC∩平面PBD=PB，
∴DE⊥平面PBC，
∵BC?平面PBC，
∴DE⊥BC，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD?平面PBD，DE?平面PBD，DE∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD，
∵BD?平面PBD，
∴BC⊥BD，
（2）∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離與點(diǎn)D到平面PBC的距離相等，
∵DE⊥平面PBC，
∴DB的長(zhǎng)度即為點(diǎn)D到平面PBC的距離，
∵BC⊥平面PBD，
∴BC⊥BD，BC⊥PB，
∴∠PBD為二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=60°，
∴在Rt△DBE中，DE=

3

2

BD=2

3

，
即點(diǎn)A到平面PBC的距離為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用．作出DE的輔助線解決本題的關(guān)鍵所在．