Question

14．已知⊙O：x²+y²=1．若直線y=$\sqrt{k}$x+2上總存在點P，使得過點P的⊙O的兩條切線互相垂直，則實數(shù)k的最小值為1．

Answer 1

分析 設(shè)兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，圓心O到直線y=$\sqrt{k}$x+2的距離小于或等于P0=$\sqrt{2}$，由此求得k的范圍．

解答 解：∵圓心為O（0，0），半徑R=1．
設(shè)兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，
故有PO=$\sqrt{2}$R=$\sqrt{2}$，
∴圓心O到直線y=$\sqrt{k}$x+2的距離小于或等于P0=$\sqrt{2}$，
即$\frac{|2|}{\sqrt{1+k}}$≤$\sqrt{2}$，
即1+k≥2，解得k≥1，
∴實數(shù)k的最小值為1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．