Question

已知二次函數(shù)f（x）=-3x²+2bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，其對(duì)稱軸方程為x=2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，求函數(shù)g（x）=f（x）-6（m+2）x-9的最大值h（m）．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)f（x）=-3x²+2bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則c=0，
又∵二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸是直線x=2，，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-3x²+12x．
（2）g（x）=f（x）-6（m+2）x-9=-3x²-6mx-9，x∈[2，3]．
配方得，g（x）=-3（x+m）²+3m²-9，
∵m∈[-3，+∞），∴-m∈（-∞，3]
①當(dāng)-m＜2時(shí)，m＞-2時(shí)，h（m）=g（2）=-12m-21；
②當(dāng)2≤-m≤3時(shí)，-3≤m≤-2時(shí)，h（m）=g（-m）=3m²-9．
③當(dāng)-m＞3時(shí)，m＜-3時(shí)，h（m）=g（3）=-36-18m．
綜上，h（m）=．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，得c的值，根據(jù)圖象對(duì)稱軸是直線x=2，求出b值，從而得出解析式即可．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別討論函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間[2，3]的關(guān)系，即可求出函數(shù)f（x）在[2，3]上的最大值h（m）的表達(dá)式；
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中在解答含有參數(shù)的二次函數(shù)問題時(shí)，判斷對(duì)稱軸與給定區(qū)間的范圍，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，是解答的關(guān)鍵．