【題目】已知函數(shù), .
(1)求在處的切線方程;
(2)當時,求在上的最大值;
(3)求證:的極大值小于1.
【答案】(1);(2)故當時,;當時,;當時,;(3)詳見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率再由點斜式可得結果;(2)求出的解析式,求出,分別令可得函數(shù)增區(qū)間,令可得函數(shù)的減區(qū)間,分類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值;(3)求出函數(shù)的導數(shù),兩次求導可判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出函數(shù)的極值,判斷即可.
(1)∵,
∴,∴在處的切線方程為,
即,
(2),(),令,得,
在區(qū)間上,,函數(shù)是增函數(shù);
在區(qū)間上,,函數(shù)是減函數(shù);
故當時,在上遞減,.
當時,先增后減,故.
當時,在上遞增,此時.
(3),令,
,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,,,所以存在唯一的,
當時,
當時,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,其中,所以函數(shù)有極大值.
函數(shù)的極大值是,由,得,
所以,因為,所以,即,
所以的極大值小于1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(文)(2017·開封二模)為備戰(zhàn)某次運動會,某市體育局組建了一個由4個男運動員和2個女運動員組成的6人代表隊并進行備戰(zhàn)訓練.
(1)經(jīng)過備戰(zhàn)訓練,從6人中隨機選出2人進行成果檢驗,求選出的2人中至少有1個女運動員的概率.
(2)檢驗結束后,甲、乙兩名運動員的成績用莖葉圖表示如圖:
計算說明哪位運動員的成績更穩(wěn)定.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國明代商人程大位對文學和數(shù)學也頗感興趣,他于60歲時完成杰作直指算法統(tǒng)宗,這是一本風行東亞的數(shù)學名著,該書第五卷有問題云:“今有白米一百八十石,令三人從上及和減率分之,只云甲多丙米三十六石,問:各該若干?”翻譯成現(xiàn)代文就是:“今有百米一百八十石,甲乙丙三個人來分,他們分得的米數(shù)構成等差數(shù)列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少米?”請你計算甲應該分得
A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石
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【題目】摩拜單車和小黃車等各種共享單車的普及給我們的生活帶來了便利.已知某共享單車的收費標準是:每車使用不超過1小時(包含1小時)是免費的,超過1小時的部分每小時收費1元(不足1小時的部分按1小時計算,例如:騎行2.5小時收費2元).現(xiàn)有甲、乙兩人各自使用該種共享單車一次.設甲、乙不超過1小時還車的概率分別為1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為兩人用車時間都不會超過3小時.
(Ⅰ)求甲乙兩人所付的車費相同的概率;
(Ⅱ)設甲乙兩人所付的車費之和為隨機變量求的分布列及數(shù)學期望
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線,.
(1)直線是否過定點?若過定點,求出該定點坐標,若不過定點,請說明理由;
(2)已知點,若直線上存在點滿足條件,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解學生的身體狀況,某校隨機抽取了一批學生測量體重.經(jīng)統(tǒng)計,這批學生的體重數(shù)據(jù)(單位:千克)全部介于到之間,將數(shù)據(jù)分成以下組:第組,第組,第組,第組,第組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第, , 組中隨機抽取名學生做初檢.
()求每組抽取的學生人數(shù).
()若從名學生中再次隨機抽取名學生進行復檢,求這名學生不在同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設是由一平面內(nèi)的個向量組成的集合.若,且的模不小于中除外的所有向量和的模.則稱是的極大向量.有下列命題:
①若中每個向量的方向都相同,則中必存在一個極大向量;
②給定平面內(nèi)兩個不共線向量,在該平面內(nèi)總存在唯一的平面向量,使得中的每個元素都是極大向量;
③若中的每個元素都是極大向量,且中無公共元素,則中的每一個元素也都是極大向量.
其中真命題的序號是_______________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若不等式 對于任意成立,求正實數(shù)的取值范圍.
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