Question

【題目】已知雙曲線的中心在原點，、為左、右焦點，焦距是實軸長的倍，雙曲線過點.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）若點在雙曲線上，求證：點在以為直徑的圓上；

（3）在（2）的條件下，若直線交雙曲線于另一點，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）設雙曲線標準方程為，根據(jù)可得，；將代入雙曲線方程可求得，進而得到所求標準方程；

（2）根據(jù)在雙曲線上可得，利用平面向量坐標運算可得，證得，從而證得結論；

（3）當時，得到直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立求得點縱坐標，從而可求得三角形面積；根據(jù)雙曲線對稱性可知時結論相同.

（1）設雙曲線標準方程為

雙曲線焦距為，實軸長為，則，即

雙曲線方程為

代入得： 雙曲線的標準方程為

（2）由（1）知：，

在雙曲線上 ，即

，

在以為直徑的圓上

（3）由（2）知：或

當時，直線方程為：

即：

代入雙曲線方程整理可得：

的縱坐標為 的縱坐標為

的面積為

由雙曲線對稱性可知，當時，面積與時一致

的面積