【題目】定義區(qū)間的長度均為,其中

(1)若函數(shù)的定義域為值域為寫出區(qū)間長度的最大值；

(2)若關于的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實數(shù)的取值范圍；

(3)已知求證:關于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為定值.

【答案】（1）；（2）；（3）定值為，證明見解析.

【解析】

（1）令求得函數(shù)的零點，令，求得定義域區(qū)間長度最大時的值.

（2）先求得不等式的解集，設不等式的解集為，根據(jù)的長度為列不等式組，由此求得的取值范圍.

（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的形式，結(jié)合高次不等式的解法，求得不等式的解集，進而求得不等式解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為定值.

（1）令，解得，此時為函數(shù)的最小值.令，解得，.故定義域區(qū)間長度最大時，故區(qū)間的長度為.

（2）由得，解得，記.設不等式的解集為，不等式組的解集為.

設不等式等價于，所以，，由于不等式組的解集的個區(qū)間長度和為，所以不等式組，當是恒成立.

當時，不等式恒成立，得.

當時，不等式恒成立，分離常數(shù)得恒成立. 當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，所以實數(shù).

（3）原不等式可化為

①.

令，其判別式，所以有兩個不相等的實數(shù)根，設，則，根據(jù)求根公式可求得.而，.

i)當時，不等式①等價于，解得，即不等式①的解集為，區(qū)間長度為.

ii)當時，不妨設，則，，所以.此時不等式①即，解得或，即不等式①的解集為，區(qū)間的長度為.

綜上所述，關于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為定值.

練習冊系列答案
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【題目】已知雙曲線的中心在原點，、為左、右焦點，焦距是實軸長的倍，雙曲線過點.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）若點在雙曲線上，求證：點在以為直徑的圓上；

（3）在（2）的條件下，若直線交雙曲線于另一點，求的面積.

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【題目】為降低空氣污染，提高環(huán)境質(zhì)量，政府決定對汽車尾氣進行整治.某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車尾氣凈化器，為保證凈化器的質(zhì)量，分別從甲、乙兩種型號的凈化器中隨機抽取100件作為樣本進行產(chǎn)品性能質(zhì)量評估，評估綜合得分都在區(qū)間.已知評估綜合得分與產(chǎn)品等級如下表：

根據(jù)評估綜合得分，統(tǒng)計整理得到了甲型號的樣本頻數(shù)分布表和乙型號的樣本頻率分布直方圖（圖表如下）.

甲型 乙型

（Ⅰ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機抽取一件，估計這件產(chǎn)品為二級品的概率；

（Ⅱ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機抽取3件，設隨機變量為其中二級品的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅲ）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請自定標準，對甲、乙兩種型號汽車尾氣凈化器的優(yōu)劣情況進行比較.

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【題目】已知橢圓： 的左，右焦點分別為，且與短軸的一個端點Q構(gòu)成一個等腰直角三角形，點P（）在橢圓上，過點作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點

(1)求橢圓的方程

(2)求證：直線MN過定點R（）

(3)求面積的最大值

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【題目】已知為定義在實數(shù)集上的函數(shù)，把方程稱為函數(shù)的特征方程，特征方程的兩個實根、（），稱為的特征根.

（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）已知為給定實數(shù)，求的表達式；

（3）把函數(shù)，的最大值記作，最小值記作，研究函數(shù)，的單調(diào)性，令，若恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知數(shù)列與滿足.

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若且數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，求q的值，使數(shù)列也是等比數(shù)列；

（3）若且，數(shù)列有最大值M與最小值，求的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線的極坐標方程為.

（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點.求點到直線的距離的最大值.

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【題目】在四棱錐P—ABCD中，PAB為正三角形，四邊形ABCD為炬形，平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD，M，N分別為PB，PC中點.

（1）求證:MN//平面PAD;

（2）求二面角B—AM—C的大小；

（3）在BC上是否存在點E，使得EN⊥平面AMV?若存在，求的值:若不存在，請說明理由.

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【題目】下列判斷正確的是（ ）

A.“”是“”的充分不必要條件

B.命題“若則”的逆否命題為真

C.命題“，”的否定是“，”

D.若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“”為真命題

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