Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a（lnx2）1在定義域（0，2）內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)x1和x2是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：lnx1+lnx2+lna0.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得，記g（x）=ex﹣1﹣ax，通過分類討論得到函數(shù)單調(diào)性，分和兩種情況進(jìn)行討論，即可得解；

（2）根據(jù)題意，將證明lnx1+lnx2+lna0，轉(zhuǎn)化為證x1+x22+lna，即證x11﹣lnx2，結(jié)合（1）問轉(zhuǎn)化成h（x）=lnx+e1﹣x，求導(dǎo)利用單調(diào)性即可證明.

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，2），，記g（x）=ex﹣1﹣ax，則g′（x）=ex﹣1﹣a，

①當(dāng)時(shí)，g′（x）0，

故g（x）在（0，2）上單增，則g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，令g′（x）=0得x=1+lna，

（i）當(dāng)1+lna<2且g（2）0，即時(shí)，

g（x）在（0，1+lna）上單減，在（1+lna，2）上單增，

此時(shí)需g（x）min=g（1+lna）=﹣alna<0，解得a1，

注意到g（0）0，

故由零點(diǎn)存在性定理可知，g（x）在（0，1+lna）及（1+lna，2）上各有一個(gè)零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)1+lna2，即ae時(shí)，g（x）在（0，2）上單減，則g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；

（2）證明：不妨設(shè)0<x1<1+lna<x2<2，

由題意得，，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，

要證lnx1+lnx2+lna0，只需證x1+x22+lna，即證x11﹣lnx2，

由上題可知，g（x）在（0，1+lna）上單減，則證明g（1﹣lnx2）g（x1）=0即可，

有，化簡后即證明即可，

構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx+e1﹣x，x∈（1+lna，2），則，注意到不等式ex﹣1x（x0），

則h′（x）0在（1+lna，2）恒成立，

即h（xh（1+lna）h（1）=1，故求證成立.