Question

設(shè)復(fù)數(shù)z=

1+i

1-i

（i為虛數(shù)單位），則

C

1 8

+

C

2 8

•z+

C

3 8

•z²+

C

4 8

•z³+

C

5 8

•z⁴+

C

6 8

•z⁵+

C

7 8

•z⁶+

C

8 8

•z⁷=

 

．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù),二項式定理

分析：首先化簡z=i，然后觀察多項式，如果加上

C

0 8

，各項乘以z后，恰好是二項式（1+z）⁸，所以原式=[（1+z）⁸-1]÷z，化簡即可．

解答： 解：復(fù)數(shù)z=

1+i

1-i

=

(1+i)2

2

=i，
原式=（

C

1 8

z+

C

2 8

•z²+

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷+

C

8 8

•z⁸）÷z
=（

C

0 8

+

C

1 8

z+

C

2 8

•z²+

C

3 8

•z³+

C

4 8

•z⁴+

C

5 8

•z⁵+

C

6 8

•z⁶+

C

7 8

•z⁷+

C

8 8

•z⁸-1）÷z
=[（1+z）⁸-1]÷z
={[（1+i）²]⁴-1}÷z
=15÷i
=-15i；
故答案為：-15i．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)的乘除運算以及二項式定理的靈活運用．