Question

（理）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁=2，∠ABC=90°，D是BC的中點．
（1）求點A₁到面ADC₁的距離；
（2）試問線段A₁B₁上是否存在點E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）以B為坐標原點建立空間直角坐標系，由題意易得

A1A

的坐標，可得平面ADC₁的法向量

n

的坐標，而點A₁到面ADC₁的距離d=

| n • A1A |

| n |

，代值計算可得．
（2）假設線段A₁B₁上存在點E（0，y，1）使AE與DC₁成60°角，可得

AE

和

DC1

的坐標，由cos＜

AE

，

DC1

＞=

1

2

可得y的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）以B為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意可得B（0，0，0），A（0，2，0），A₁（0，2，1），
D（1，0，0），C₁（2，0，1），
∴

AD

=（1，-2，0），

AC1

=（2，-2，1），

A1A

=（0，0，-1），
設

n

=（x，y，z）為平面ADC₁的法向量，
則

n • AD =x-2y=0 n • AC1 =2x-2y+z=0

，解得

x=2y z=-2y

，
取y=1可得

n

=（2，1，-2），
∴點A₁到面ADC₁的距離d=

| n • A1A |

| n |

=

2

3

（2）假設線段A₁B₁上存在點E（0，y，1）使AE與DC₁成60°角，
則

AE

=（0，y-2，1），

DC1

=（1，0，1），
∴cos＜

AE

，

DC1

＞=

AE • DC1

| AE || DC1 |

=

1

(y-2)2+1 • 2

=

1

2

，
解得y=3或y=1，顯然y=3時點E不在線段A₁B₁上，應舍去，
∴y=1，即存在點線段A₁B₁上存在點E（0，1，1）使AE與DC₁成60°角，此時E為線段A₁B₁的中點．

點評：本題考查空間距離和空間角，建立空間直角坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．