Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+bx+c在（-∞，-

3

2

）上減函數(shù)，在（-

3

2

，+∞）上是增函數(shù)，且對應(yīng)方程兩個實根x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=2．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得，對稱軸x=-

3

2

，求出b，再由韋達(dá)定理，即可得到c，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（2）考慮對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最值，進(jìn)而得到值域．

解答： 解：（1）由已知得：對稱軸x=-

3

2

，
所以-

b

4

=-

3

2

得b=6，
故f（x）=2x²+6x+c 又x₁，x₂，是方程2x²+6x+c=0的兩個根，
x₁+x₂=-3，x₁x₂=

c

2

，
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2，
得c=

5

2

，
故f（x）=2x²+6x+

5

2

；
（2）f（x）=2x²+6x+

5

2

=2（x+

3

2

）²-2
當(dāng)x∈[-2，1]時，f（-

3

2

）≤f（x）≤f（1），
即-2≤f(x)≤

21

2

，
故值域為[-2，

21

2

]．

點評：本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查二次函數(shù)的值域，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．