Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．設F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．則$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小值為（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通過設T（-3，t），易知|FT|=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，對t的值進行討論：當t=0時易知$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；當t≠0時可知直線PQ的方程y=$\frac{1}{t}$（x+2），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、兩點間距離公式、完全平方公式可知|PQ|=$2\sqrt{6}$•$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}+3}$，化簡可知$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•（$\sqrt{{t}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$），利用基本不等式計算即得結(jié)論．

解答 解：如圖，A（-3，0）、F（-2，0），設T（-3，t），
則|AF|=|-2+3|=1，|AT|=t，
∴|FT|=$\sqrt{|AT{|}^{2}+|AF{|}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
下面對t的值進行討論：
①當t=0時，|FT|=1，
此時PQ與x軸垂直，易知P（-2，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）、Q（-2，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{1}{2•\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
②當t≠0時，此時直線TF的斜率為-t，
∴直線PQ的斜率為$\frac{1}{t}$，
∴直線PQ的方程為：y=$\frac{1}{t}$（x+2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{t}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（t²+3）x²+12x+12-6t²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{12}{{t}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{-6{t}^{2}+12}{{t}^{2}+3}$，
∴|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•[（-\frac{12}{{t}^{2}+3}）^{2}-4•\frac{-6{t}^{2}+12}{{t}^{2}+3}]}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}}•\frac{24{t}^{2}（{t}^{2}+1）}{（{t}^{2}+3）^{2}}}$
=$2\sqrt{6}$•$\frac{{t}^{2}+1}{{t}^{2}+3}$，
∴$\frac{|TF|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{\frac{2\sqrt{6}（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}+3}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•$\frac{{t}^{2}+3}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•$\frac{{t}^{2}+1+2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{12}$•（$\sqrt{{t}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$）
≥$\frac{\sqrt{6}}{12}$•2$\sqrt{\sqrt{{t}^{2}+1}•\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$（當且僅當$\sqrt{{t}^{2}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$即t=±1時取等號）
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
綜上所述，$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：C．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．