Question

4．（1）△ABC中，已知a=5$\sqrt{2}$，c=10，A=30°，則B等于105°或15°．
（2）△ABC中，已知b=5，B=$\frac{π}{4}$，tanA=2，求sinA和邊a．

Answer 1

分析 （1）首先，判斷解的個數(shù)的多少，然后，利用正弦定理求解即可；
（2）利用所給條件并結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得到相應(yīng)的值，然后，利用正弦定理確定三角形的邊長即可．

解答 解：（1）∵a=5$\sqrt{2}$，c=10，A=30°，
csinA=10×$\frac{1}{2}$=5，
∵csinA=5＜a=5$\sqrt{2}$＜10，
∴該三角形有兩解，
根據(jù)正弦定理，得
$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C=45°或135°，
∴B=105°或B=15°，
（2）∵tanA=2，
∴$\frac{sinA}{cosA}=2$，
∴sinA=2cosA，
∵sin²A+cos²A=1，
∴sin²A+$\frac{1}{4}$sin²A=1，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
根據(jù)正弦定理，得
$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{5×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{5}$×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題重點考查了三角恒等變換、正弦定理及其應(yīng)用，對于解三角形問題，注意多解問題的處理思路和方法，屬于中檔題．