Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=16x²-8x+1，且f（x）≤4 的解集為M，不等式$\frac{3x-4}{2x-1}$≤0的解集為N．
（1）求M∩N；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x²（1-x）+x（1-x）²，當(dāng)x∈M∩N時(shí)，求證：g（x）＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由二次不等式的解法，可得M，由分式不等式的解法可得N，再由交集的定義，即可得到所求；
（2）化簡(jiǎn)g（x），運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得g（x）的值域，進(jìn)而得到求證．

解答 解：（1）f（x）≤4，即為16x²-8x-3≤0，
解得-$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{3}{4}$，即有M=[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]，
不等式$\frac{3x-4}{2x-1}$≤0，解得$\frac{1}{2}＜$x≤$\frac{4}{3}$，
即有N=（$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{3}$]，
即有M∩N=（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]；
（2）函數(shù)g（x）=x²（1-x）+x（1-x）²
=x（1-x）=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]，為減區(qū)間，
即有g(shù)（x）∈[$\frac{3}{16}$，$\frac{1}{4}$），
則有g(shù)（x）＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，注意二次不等式和分式不等式的解法，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值的求法和不等式恒成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題．