Question

19．直線y=kx-1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{a}=1$相切，則k，a的取值范圍分別是（　　）

• A． a∈（0，1），k∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． a∈（0，1]，k∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• C． a∈（0，1），k∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）
• D． a∈（0，1），k∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 直線y=kx-1，恒過點（0，-1），直線y=kx-1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{a}=1$相切，可判斷點（0，-1）在橢圓外，可求得a的范圍．根據(jù)方程組的解判斷k的范圍．

解答 解：∵直線y=kx-1，恒過點（0，-1），直線y=kx-1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{a}=1$相切，
∴點（0，-1）在橢圓外，即$\frac{1}{a}$＞1，a∈（0，1]
（2）聯(lián)立方程組得：（a+4k²）x²-8kx4-4a=0，
△=64k²a+16a²-16a=0，
a=1-4k²，即0＜1-4k²＜1，
解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
所以實數(shù)a的取值范圍 （0，1]，k的取值范圍（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 本題綜合考查了點、直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合方程，不等式，求解．