【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分別為SA,SB的中點(diǎn),E為CD中點(diǎn),過(guò)M,N作平面MNPQ分別與BC,AD交于點(diǎn)P,Q,若 =t .
(1)當(dāng)t= 時(shí),求證:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在實(shí)數(shù)t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】
(1)證明:(1)E為CD中點(diǎn),∴四邊形ABCE為矩形,
∴AE⊥CD,
當(dāng)t= 時(shí),Q為AD中點(diǎn),PQ∥CD,所以PQ⊥AE,
∵平面SCD⊥平面ABCD,SE⊥CD,∴SE⊥面ABCD,
∵PQ面ABCD,∴PQ⊥SE,∴PQ⊥面SAE,
所以面MNPQ⊥面SAE
(2)解:如圖,以E為原點(diǎn),ED,EA,ES直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示坐標(biāo)系;
設(shè)ED=a,則M((1﹣t)a,( ﹣ )a, a),E(0,0,0),A(0, ,0),
Q((1﹣t)a, ,0), =(0, , ),
面ABCD一個(gè)方向向量為 =(1,0,0),
設(shè)平面MPQ的法向量 =(x,y,z),
則 ,取z=2,得 =(0, ,2),
平面ABCD的法向量為 =(0,0,1)
∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ,
∴由題意:cosθ= = = ,
解得t= 或t= ,
由圖形知,當(dāng)t= 時(shí),二面角M﹣PQ﹣A為鈍二面角,不合題意,舍去
綜上:t= .
【解析】(1)推導(dǎo)出AE⊥CD,PQ⊥AE,從而SE⊥面ABCD,由此能證明面MNPQ⊥面SAE.(2)以E為原點(diǎn),ED,EA,ES直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為,且、.若,則稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,則二人“心有靈犀”的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)袋子里裝有7個(gè)球,其中有紅球4個(gè),編號(hào)分別為1,2,3,4;白球3個(gè),編號(hào)分別為2,3,4.從袋子中任取4個(gè)球(假設(shè)取到任何一個(gè)球的可能性相同).
(Ⅰ)求取出的4個(gè)球中,含有編號(hào)為3的球的概率;
(Ⅱ)在取出的4個(gè)球中,紅球編號(hào)的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》中有一著名的問(wèn)題“物不知數(shù)”如圖1,原題為:今有物,不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問(wèn)物幾何?后來(lái),南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)此類問(wèn)題的解法做了系統(tǒng)的論述,并稱之為“大衍求一術(shù)”,如圖2程序框圖的算法思路源于“大衍求一術(shù)”執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為20,17,則輸出的c=( )
A.1
B.6
C.7
D.11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(3)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , A(2,0)是橢圓的右頂點(diǎn),過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|=3;
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l與橢圓交于兩點(diǎn)M,N(M,N不同于點(diǎn)A),若 =0, = ;
①求證:直線l過(guò)定點(diǎn);并求出定點(diǎn)坐標(biāo);
②求直線AT的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足a1=1,nSn+1﹣(n+1)Sn= ,n∈N*
(1)求a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)h(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)圖象的對(duì)稱中心為M(x0 , h(x0)),記函數(shù)h(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),則有g(shù)′(x0)=0,設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣3x2+2,則f( )+f( )+…+f( )+f( )= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4個(gè)人參加某娛樂(lè)活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(1)求出4個(gè)人中恰有2個(gè)人去 參加甲游戲的概率;
(2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率;
(3)用 分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記 ,求隨機(jī)變量 的分布列與數(shù)學(xué)期望 .
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