Question

已知可導(dǎo)函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞f（x），則不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由題目要求解的不等式是ef（x）＞f（1）e^x，變性后得：

f(x)

ex

＞

f(1)

e

，由此想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，求導(dǎo)后結(jié)合f'（x）＞f（x），可知函數(shù)g（x）是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可求得不等式的解集．

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，
則g′(x)=

ex•f′(x)-ex•f(x)

e2x

=

ex(f′(x)-f(x))

e2x

，
因?yàn)閒'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，
所以，函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
由ef（x）＞f（1）e^x，得：

f(x)

ex

＞

f(1)

e

，即g（x）＞g（1），
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=

f(x)

ex

為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
所以，x＞1．
所以，不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是（1，+∞）．
故答案為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了不等式的解法，解答此題的關(guān)鍵是聯(lián)系要求解的不等式，構(gòu)造出函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

，然后利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則判斷出其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到該函數(shù)的單調(diào)性．此題是中檔題．