【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2 , a>0.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣1,0)有唯一零點(diǎn)x0 , 證明: .
【答案】
(1)解: ,x>﹣1,
令g(x)=2ax2+2ax+1,△=4a2﹣8a=4a(a﹣2),
若△<0,即0<a<2,則g(x)>0,
當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
若△=0,即a=2,則g(x)≥0,僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立,
當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時(shí),f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增.
若△>0,即a>2,則g(x)有兩個(gè)零點(diǎn) , ,
由g(﹣1)=g(0)=1>0, 得 ,
當(dāng)x∈(﹣1,x1)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
綜上所述,
當(dāng)0<a≤2時(shí),f(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>2時(shí),f(x)在 和 上單調(diào)遞增,
在 上單調(diào)遞減.
(2)解:由(1)及f(0)=0可知:僅當(dāng)極大值等于零,即f(x1)=0時(shí),符合要求.
此時(shí),x1就是函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣1,0)的唯一零點(diǎn)x0.
所以 ,從而有 ,
又因?yàn)? ,所以 ,
令x0+1=t,則 ,
設(shè) ,則 ,
再由(1)知: ,h'(t)<0,h(t)單調(diào)遞減,
又因?yàn)? , ,
所以e﹣2<t<e﹣1,即 .
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出 ,得到 ,令x0+1=t,則 ,設(shè) ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和S4=14,且a1 , a3 , a7成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和,若Tn≤λan+1對(duì)n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( )
A. BD∥平面CB1D1 B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1 D. 異面直線AD與CB1所成的角為60°
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=
∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.
(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使得DP∥平面EAB?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路,已知矩形花園長(zhǎng)AD=5m,寬AB=3m,其中一條小路定為AC,另一條小路過(guò)點(diǎn)D,問(wèn)如何在BC上找到一點(diǎn)M,使得兩條小路AC與DM相互垂直?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,E,F分別為AC和PB上的點(diǎn),它的直觀圖,正視圖,側(cè)視圖如圖所示.
(1)求EF與平面ABCD所成角的大;
(2)求二面角B-PA-C的大小.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出以下四個(gè)結(jié)論:
①D1C∥平面A1ABB1;②A1D1與平面BCD1相交;
③AD⊥平面D1DB;④平面BCD1⊥平面A1ABB1.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)求的值域;
(2)設(shè)函數(shù), ,若對(duì)于任意, 總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>0)的焦點(diǎn)在x軸上,且橢圓C的焦距為2. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)R(4,0)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)P,Q,過(guò)P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點(diǎn)N,F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn),求證:三點(diǎn)N,F(xiàn),Q在同一條直線上.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com