Question

3．已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列結(jié)論中，一定成立的是③．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；
③2^a+2^c＜2；④2^b+2^c＞2．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=|2^x-1|的圖象，結(jié)合f（a）＞f（c）＞f（b），逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=|2^x-1|的圖象如圖所示：

若f（a）＞f（c）＞f（b），
則a＜b＜0，c值不確定，
故①，②錯誤；
因?yàn)閍＜c，且f（a）＞f（c），說明可能如下情況成立：
（i）a、c位于函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），此時a＜c＜0，可得0＜2^c＜2^a＜1，所以2^a+2^c＜2成立；
（ii）a、c不在函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），則必有a＜0＜c，所以f（a）=1-2^a＞2^c-1=f（c），
化簡整理，得2^a+2^c＜2成立．
綜上所述，2^a+2^c＜2，故③正確；
同理，可得2^b+2^c＜2，故④錯誤；
故答案為：③．

點(diǎn)評 本題以一個帶絕對值的函數(shù)為例，在已知自變量大小關(guān)系和相應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系情況下，叫我們判斷幾個不等式的正確性，著重考查了函數(shù)的圖象與單調(diào)性等知識點(diǎn)，屬于中檔題．