Question

15．若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，則數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=（-2）^n-1．若本題條件不變，則S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1化簡、整理可知a_n=-2a_n-1（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為-2的等比數(shù)列，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論求和即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{2}{3}$a_n+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{2}{3}$a_n-1+$\frac{1}{3}$）
=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$a_n-1，
整理得：a_n=-2a_n-1（n≥2），
又∵S₁=$\frac{2}{3}$a₁+$\frac{1}{3}$，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為-2的等比數(shù)列，
∴a_n=（-2）^n-1，
∴數(shù)列{a_n}中奇數(shù)項是首項為1、公比為4的等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}中偶數(shù)項是首項為-2、公比為4的等比數(shù)列，
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=$\frac{1-{4}^{\frac{n+1}{2}}}{1-4}$-$\frac{2（1-{4}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-4}$=$\frac{1+{2}^{n}}{3}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=$\frac{1-{4}^{\frac{n}{2}}}{1-4}$-$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$=$\frac{1-{2}^{n}}{3}$；
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
故答案為：（-2）^n-1，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．