Question

對于函數(shù)，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N*）．
（1）寫出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x）的表達式；
（2）根據(jù)（I）的結(jié)論，請你猜想并寫出f_4n-1（x）的表達式；
（3）若x∈C，求方程f₂₀₁₀（x）=x的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）的解析式，把f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），依次看作一個整體依次代入即可求得．
（2）由（1）得出f_n（x）是以4為周期，又4n-1=4（n-1）+3，f_4n-1（x）=f_4n+3（x）=f₃（x）．
（3）由（1）得出f_n（x）是以4為周期，求出f₂₀₁₀（x）的解析式，列出方程，求出x的解集．
解答：解（1）∵，
f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=；
（2）根據(jù)（I）知：f_n（x）是以4為周期；
∴；
（3）∵f_n（x）是以4為周期，∴f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-
∴-=x，∴x²=-1，
∴原方程的解集為{i，-i}．
點評：本題主要考查函數(shù)的解析式，結(jié)合了周期性，用列出前幾項的方法找到周期，這是找周期的最基本的方法，本題把這種展示的很好，求解析式屬基礎(chǔ)題．