Question

已知f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域．
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

（1）∵?x∈R，都有2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
故函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．
∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
而2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
（3）?x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵2＞1，∴2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，2^x₁-2^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增．