Question

(本題滿分14分)

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是的菱形，ADD``A<sub>1</sub>和CD D`C<sub>1</sub>都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D``與D`重合于點D₁ .設(shè)直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．

  

(Ⅰ) 設(shè)二面角E – AC – D₁的大小為q，若£ q £ ，求線段BE長的取值范圍；

(Ⅱ)在線段上存在點，使平面平面，求與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0 < BE < a時，恒有< 1．

 

Answer 1

【答案】

 

（方法1）設(shè)菱形的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖1．設(shè)BE = t （t > 0） ．

（Ⅰ）

設(shè)平面的法向量為，則

         3分

設(shè)平面的法向量為，

則      4分

設(shè)二面角的大小為，則，    6分

∵cosq Î，  ∴ ，    

解得 £ t £ ．  所以BE的取值范圍是 [，]．    8分

 (Ⅱ) 設(shè)，則

 

由平面平面，得平面，

,化簡得：(t ¹ a)，即所求關(guān)系式：（BE ¹ a).

∴當(dāng)0< t < a時，< 1.  即：當(dāng)0 < BE < a時，恒有< 1．       14分

（方法2）

（Ⅰ）如圖2，連接D₁A，D₁C，EA，EC，D₁O，EO，

∵ D₁A= D₁C，所以，D₁O⊥AC，同理，EO⊥AC，

∴是二面角的平面角．設(shè)其為q．        3分

連接D₁E，在△OD₁E中，設(shè)BE = t （t > 0）則有：

OD₁ = ，OE = ，D₁E = ，

∴ .                                  6分

∵cosq Î，  ∴ ，    

解得 £ t £ ．  所以BE的取值范圍是 [，]．

所以當(dāng)條件滿足時，£ BE £ ．                 8分

（Ⅱ）當(dāng)點E在平面A₁D₁C₁上方時，連接A₁C₁，則A₁C₁∥AC，

連接EA₁，EC₁，設(shè)A₁C₁的中點為O₁，則O₁在平面BDD₁內(nèi)，過O₁作O₁P∥OE交D₁E于點P，則平面平面．

作平面BDD₁如圖3．過D₁作D₁B₁∥BD交于l點B₁，設(shè)EO交D₁B₁于點Q．

因為O₁P∥OE，所以==，

由Rt△EB₁Q∽RtEBO，得，解得QB₁ = ，得=，  12分

當(dāng)點E在平面A₁D₁C₁下方時，同理可得，上述結(jié)果仍然成立．       13分

∴有=（BE ¹a），∴當(dāng)0 < t < a時，< 1.      14分

 

【解析】略