Question

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=1，E為DC的四等分點(diǎn)（靠近C處），F(xiàn)為線(xiàn)段EC上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使D點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好落在邊AB上，則當(dāng)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角D-AF-B的平面角余弦值的變化范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AF于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)M，不妨設(shè)二面角D-AF-B的平面解為θ，則cosθ=

MO

OD

=

OA

OF

=

1

x2

，從而求其取值范圍．

解答： 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AF于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)M，不妨設(shè)二面角D-AF-B的平面解為θ，
則cosθ=

OM

OD

，
設(shè)DF=x，3≤x≤4，由勾股定理，
OD=

x

x2+1

，OF=

x4 x2+1

，OA=

1 x2+1

，
∴cosθ=

MO

OD

=

OA

OF

=

1

x2

在[3，4]上是減函數(shù)，
∴

1

16

cosθ≤

1

9

．
故答案為：[

1

16

，

1

9

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的作圖能力及空間想象力，注意折起前后的等量關(guān)系是本題解決的關(guān)鍵，屬于中檔題．