已知拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為
12
．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t＞0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值．
分析：（1）直接利用焦點F到準線的距離為
1
2
，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）先把直線MN的方程用點N的坐標表示出來，令y=0求出點M的坐標；進而求出直線NQ與QP的斜率，再結合kPM•kNQ=-1以及
MQ
與
MP
共線，得到x和t之間的關系即可求出t的最小值．
解答：解：（1）因為：焦點F到準線的距離為
1
2
．
所以：p=
1
2
．
所以所求方程為：x2=y
（2）設P（t，t2），Q（x，x2），N（x0x02），則直線MN的方程為y-x02=2x0（x-x0）
令y=0，得M(
x0
2
，0)，
∴kPM=
t2
t-
x0
2
=
2t2
2t-x0
，kNQ=
x
2
0
-x2
x0-x
=x0+x
∵NQ⊥QP，且兩直線斜率存在，
∴kPM•kNQ=-1，即
2t2
2t-x0
(x0+x)=-1，
整理得x0=
2t2x+2t
1-2t2
(1)，又Q（x，x2）在直線PM上，
則
MQ
與
MP
共線，得x0=
2xt
x+t
(2)
由（1）、（2）得
2t2x+2t
1-2t2
=
2xt
x+t
(t＞0)，
∴t=
x2+1
3x
，
∴t≥
2
3
或t≤-
2
3
（舍）
∴所求t的最小值為
2
3
．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系．第一問涉及到拋物線的標準方程的求法，解決第一問的關鍵在于知道焦點F到準線的距離即為p的值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=
12
y和定點P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py，過點A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=ay（a＞0），斜率為k的直線l經過拋物線的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且拋物線上一點M(2
2
 ， m) (m＞1)到點F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且
AF
=3
FB
，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為點Q，求證：
AB
 • 
FQ
=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒有公共點（其中m為常數(shù)）．動點P是直線l上的任意一點，過P點引拋物線C的兩條切線，切點分別為M、N，且直線MN恒過點Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點為原點，連接PQ交拋物線C于A、B兩點，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

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