Question

已知拋物線C：x²=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且拋物線上一點(diǎn)M(2

2

 ， m) (m＞1)到點(diǎn)F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且

AF

=3

FB

，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，求證：

AB

 • 

FQ

=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)M(2

2

 ，m)在拋物線C：x²=ay（a＞0）上，點(diǎn)M( 2

2

，m)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離是3，根據(jù)定義，建立方程，從而可求a的值；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用

AF

=3

FB

，建立方程，結(jié)合k＞0，可求k的值；
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，確定

AB

的坐標(biāo)，確定切線QA、QB的方程，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可得

FQ

的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)辄c(diǎn)M(2

2

 ，m)在拋物線C：x²=ay（a＞0）上，所以am=8．
因?yàn)辄c(diǎn)M( 2

2

，m)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離是3，所以點(diǎn)M( 2

2

，m)到拋物線的準(zhǔn)線y=-

a

4

的距離是3，
所以m+

a

4

=3．
所以

8

a

+

a

4

=3．
所以a=4，或a=8．…..（3分）
因?yàn)閙＞1，所以a=4…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x²=4y．
因?yàn)橹本�l經(jīng)過點(diǎn)T（0，1），

AF

=3

FB

，所以直線l的斜率一定存在，
設(shè)直線l的斜率是k，所以直線l的方程是y=kx+1，即kx-y+1=0．
聯(lián)立方程組

kx-y+1=0  x2=4y

消去y，得x²-4kx-4=0．…..（5分）
所以x1，2=

4k± 16k2+16

2

=2k±2

k2+1

．
因?yàn)?span id="g5titm0" class="MathJye">

AF

=3

FB

，且k＞0，所以2k+2

k2+1

=3•(2

k2+1

-2k)．…..（7分）
所以

k2+1

=2k，所以k2=

1

3

．
因?yàn)閗＞0，所以k=

3

3

所以k的值是

3

3

．…..（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，方程組

kx-y+1=0  x2=4y

得x²-4kx-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

AB

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1))．…..（9分）
由x²=4y，所以y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x．
所以切線QA的方程是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，切線QB的方程是y-y2=

1

2

x2(x-x2)．…..（11分）
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），即（2k，-1），所以

FQ

=(2k，-2)．
因?yàn)?span id="n6i0uqk" class="MathJye">

AB

=(x2-x1，k(x2-x1))
所以

AB

•

FQ

=0．…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．