考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)建立坐標(biāo)系,求出平面A1CD的法向量、平面B1CD的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值;
(2)利用VC-DA1B1=V柱-VA1-ACD-VB1-DCB-VC-A1B1C1,即可求四面體CDA1B1與直三棱柱ABC-A1B1C1的體積比.
解答:
解:(1)如圖,過D作DD
1∥AA
1,交A
1B
1于D
1,直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,由已知得DB,DC,DD
1兩兩垂直,以D為原點,射線DB,DC,DD
1,分別為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,設(shè)高為h,則A(-2,0,0),A
1(-2,0,h),B
1(2,0,h),C(0,
,0),從而
=(4,0,h),
=(2,
,-h),
∴
•
=8-h
2=0,∴h=2
.
故
=(-2,0,2
),
=(2,0,2
),
=(0,
,0).
設(shè)平面A
1CD的法向量為
=(x,y,z),則
,∴取
=(
,0,1).
同理可得平面B
1CD的法向量為
=(
,0,-1),
∴cos<
,
>=
;
(2)∵AC=BC,D為AB的中點,
∴CD⊥AB,
∴CD=
=
.
由(1)得AA
1=2
,∴
VA1-ACD=
××S△ADC×AA1=
V柱;
同理
VB1-DCB=
V柱,
VC-A1B1C1=
V柱,
∴
VC-DA1B1=V
柱-
VA1-ACD-
VB1-DCB-
VC-A1B1C1=
V柱,
∴四面體CDA
1B
1與直三棱柱ABC-A
1B
1C
1的體積比是
.
點評:本題考查面面角,考查錐體體積的計算,考查向量知識的運用,正確求出法向量是關(guān)鍵.