已知曲線C:y=f(x)=x3-3px2(p∈R).
(Ⅰ)當(dāng)p=
1
3
時(shí),求曲線C的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為m的兩條直線與曲線C相切于A,B兩點(diǎn),求證:AB中點(diǎn)M在曲線C上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,又已知直線AB的方程為:y=-x-1,求p,m的值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)當(dāng)p=
1
3
時(shí),先求導(dǎo),通過(guò)斜率為1得到切點(diǎn).然后利用點(diǎn)斜式得到所求切線方程;
(Ⅱ)先將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出,其中縱坐標(biāo)用相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示.再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得到A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足x1+x2=2p.從而得到AB中點(diǎn)M,即可得到結(jié)論.
(Ⅲ)由AB中點(diǎn)在直線y=-x-1,又在曲線C,從而得p=1,再反代如直線與曲線聯(lián)立得方程,得到A.B兩點(diǎn)的坐標(biāo),代入導(dǎo)函數(shù)中得到斜率,從而得到m=3.
解答: 解:(Ⅰ)當(dāng)p=
1
3
時(shí),y=f(x)=x3-x2,
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2-2x,
由f′(x)=3x2-2x=1,解得x=1或x=-
1
3
,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(-
1
3
,-
4
27
),
對(duì)應(yīng)的切線方程為y=x=-1,或y=x+
5
27

(Ⅱ)f′(x)=3x2-6px,設(shè)A(x1,x13-3px12),B(x2,x23-3px22),(x1≠x2),
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得
m=3x12-6px1
m=3x22-6px2
,即3(x1+x2)(x1-x2)-6p(x1-x2)=0,
解得x1+x2=2p,
x13-3px12+x23-3px22
2
=
(x1+x2)(x12-x1x2+x22)-3p[(x1+x2)2-2x1x2]
2

=
2p[(2p)2-3x1x2]-3p[(2p)2-2x1x2]
2
=-2p3,
∴AB的中點(diǎn)M(
x1+x2
2
,
x13-3px12+x23-3px22
2
),即M(p,-2p3
又AB的中點(diǎn)M在曲線C上,等價(jià)為,-2p3=p3-3p•p2,顯然成立.
(Ⅲ)知,AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p,且M在AB上,則M(p,-p-1),
又M在曲線C上,∴-p-1=p3-3p•p2,即2p2-p-1=0,
則(p-1)(2p2+2p+1)=0,
所以p=1.
y=x3-3x2
y=-x-1
,即x3-3x2+x+1=0,
則(x3-x2)-(2x2-2x)-x+1=0,即(x-1)(x2-2x-1)=0,
由于x1+x2=2.x1=1+
2
,x2=1-
2
,
故m=3x12-6x1=3(1+
2
2-6(1+
2
)=3.
綜上,p=1,m=3為所求.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線的方程,直線與曲線的位置關(guān)系.綜合性較強(qiáng).
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y2
16
-
x2
48
=1的離心率e=( 。
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B、
2
C、
3
D、3

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x1+x2
2
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