Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|x+1|
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）如果關(guān)于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，

當(dāng)（x﹣2）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤2時(shí)，取等號(hào)，

∴f（x）的最小值是3

（2）解：∵f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|=|a+1|，

當(dāng)（x﹣a）（x+1）≤0時(shí)取等號(hào)，

∴若關(guān)于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，

只需|a+1|＜2，解得﹣3＜a＜1，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣3，1）

【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，當(dāng)（x﹣2）（x+1）≤0時(shí)，取等號(hào)，由此f（x）的最小值是3．（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的絕對(duì)值不等式的解法，需要了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能得出正確答案．