Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣4x+3＝0，過原點(diǎn)的直線l與圓C有公共點(diǎn)．

（1）求直線l斜率k的取值范圍；

（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上的任意一點(diǎn)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 4x2+4y2﹣8x+3＝0．

【解析】

（1）根據(jù)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)圓心到直線的距離小于等于半徑，列出不等式求解出的取值范圍；

（2）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系用未知表示已知，即可得到滿足的關(guān)系式即為的軌跡方程.

（1）由x2+y2﹣4x+3＝0，得(x﹣2)2+y2＝1，

直線l過原點(diǎn)，可設(shè)其方程為y＝kx，

∵直線l與圓C有公共點(diǎn)，

∴1，解得；

（2）設(shè)M(x，y)，P(x1，y1)，

∵M為OP的中點(diǎn)，∴x1＝2x，y1＝2y，

代入圓C：x2+y2﹣4x+3＝0，得(2x)2+(2y)2﹣4×2x+3＝0，

即4x2+4y2﹣8x+3＝0．