Question

3．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC的所成角為60°，AA₁=2，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)G為△ABC的重心，點(diǎn)E在BC₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BC₁．
（1）求證：GE∥平面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接B₁E，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接AB₁，AF，證明GE∥AB₁，然后證明GE∥平面AA₁B₁B；
（2）過(guò)點(diǎn)A₁作A₁O⊥AB，垂足為O，連接OC，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OA為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面B₁GE的一個(gè)法向量，平面ABC的一個(gè)法向量，即可求解二面角的余弦函數(shù)值．

解答 解：（1）證明：連接B₁E，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接AB₁，AF，
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，∴BC∥B₁C₁，∴△EFB～△EB₁C₁，
又∵BE=$\frac{1}{3}B{C}_{1}$，∴$\frac{BE}{E{C}_{1}}=\frac{EF}{E{B}_{1}}=\frac{BF}{{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，∴F是BC的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴點(diǎn)G在AF上，且$\frac{GF}{AG}=\frac{EF}{{EB}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴GE∥AB₁，
∴GE∥平面AA₁B₁B；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)A₁作A₁O⊥AB，垂足為O，連接OC，
∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，∴A₁O⊥底面ABC，∴∠A₁AB=60°，
∵AA₁=2，∴AO=1，
∵AB=2，∴點(diǎn)O是AB 的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)G是正三角形ABC的重心∴點(diǎn)G在OC上，∴OC⊥AB，
∵A₁O⊥底面ABC，∴A₁O⊥OB，A₁O⊥OC，以O(shè)為原點(diǎn)，
分別以O(shè)C，OB，OA為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

由題意可得：A（0，-1，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），C₁（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），$則G（\frac{\sqrt{3}}{3}，0，0）$，
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{C}_{1}}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，∴$E（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，
∴$\overrightarrow{GE}=（0，1，\frac{\sqrt{3}}{3}），\overrightarrow{{B}_{1}E}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$，
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面B₁GE的一個(gè)法向量，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{GE}\\ \overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}E}\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0\\ \frac{\sqrt{3}}{3}x-y-\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0\end{array}$
令z=$\sqrt{3}$，則x=$\sqrt{3}$，y=-1，∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}）$，
由（1）知$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{O{A}_{1}}=（0，0，\sqrt{3}）$是平面ABC的一個(gè)法向量，
設(shè)平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角為θ，
則有：cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空間想象能力邏輯推理能力以及計(jì)算能力．