Question

9．已知等比數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，且a₅=a₄+2a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n+1-λa_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用a₅=a₄+2a₃求出公比，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
 （2）利用分組求和求出數(shù)列{a_n+1-λa_n}的前n項(xiàng)和為S_n，再由S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）可得實(shí)數(shù)λ的值．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
由a₅=a₄+2a₃成等差數(shù)列，得q⁴=q³+2q²，即q²-q-2=0．
解得q=-1（舍），或q=2，
又a₁=1，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）由題意可得：S_n=（a₂-λa₁）+（a₃-λa₂）+…+（a_n+1-λa_n）
=（a₂+a₃+…+a_n+1）-λ（a₁+a₂+…+a_n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-λ\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ（2-λ）-（2-λ）．
又S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
∴λ=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，是中檔題．