Question

【題目】已知．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在上有最小值，且最小值為，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(I) 函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（2）結(jié)合（1）可得的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)在上有最小值，從而確定的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ）∵f'（x）＝ex－2a．

當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，得x＝ln2a．

列表得

x	（－∞，ln2a）	ln2a	（1n2a，＋∞）
f'（x）	－	0	＋
f（x）

所以函數(shù)f（x）在（－∞，ln2a）單調(diào)遞減，在（ln2a，＋∞）單調(diào)遞增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有最小值，且在x＝ln2a時(shí)取到最小值，

∴ln2a＞0，∴．

∵f（x）min＝f（ln2a）＝2a－2aln2a＋1，

∴g（a）＝2a－2aln2a＋1≤3－2ln2，即2a－2aln2a－2＋2ln2≤0．

令t＝2a，t＞1，∴t－tlnt－2＋2ln2≤0．

記φ（t）＝t－tlnt－2＋2ln2，φ'（t）＝－lnt＜0．

∴φ（t）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，又∵φ（2）＝0，∴φ（t）≤0時(shí)t≥2，即a≥1．

所以a的取值范圍是a≥1．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小）.