Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx+2x-a，若存在b∈[1，e]，使得f[f（b）]=b成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，2+2e]
• B． [1，2+2e]
• C． [0，2]
• D． [1，2+e]

Answer 1

分析 由f′（x）=$\frac{2}{x}+2＞0$知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以根據(jù)f[f（b）]=b得到f（b）=b，所以知道2lnx+2x-a=x在[1，e]上有實數(shù)根．所以得到a=2lnx+x，設(shè)h（x）=2lnx+x，通過求h′（x）＞0便可判斷h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，這樣即可求h（x）在[1，e]上的最大值，最小值，從而求出h（x）在[1，e]上的值域，從而求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{2}{x}+2＞0$，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴由f[f（b）]=b，得f（b）=b；
則f（x）=x在[1，e]上有根；
即2lnx+2x-a=x；
∴a=2lnx+x；
令h（x）=2lnx+x，$h′（x）=\frac{2}{x}+1＞0$；
∴h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增；
∴h（x）_min=h（1）=1，h（x）_max=h（e）=2+e；
∴a∈[1，2+e]；
即實數(shù)a的取值范圍是[1，2+e]．
故選D．

點評 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f[f（b）]=b時便可得到f（b）=b，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，從而得到函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．