Question

20．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$（n∈N^*），則這個數(shù)列是否存在最大項？若存在，請求出最大項，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：假設(shè)a_n是數(shù)列中的最大項，則當(dāng)n≥2時，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥{a}_{n+1}}\\{{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}≥\frac{（n+1）^{2}}{{2}^{n+1}}}\\{\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}≥\frac{（n-1）^{2}}{{2}^{n-1}}}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{2{n}^{2}≥{n}^{2}+2n+1}\\{{n}^{2}≥2{n}^{2}-4n+2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-2n-1≥0}\\{{n}^{2}-4n+2≤0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{n≥1+\sqrt{2}或n≤1-\sqrt{2}}\\{2-\sqrt{2}≤n≤2+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得1+$\sqrt{2}$≤n≤2+$\sqrt{2}$，
則n=3，
即數(shù)列中存在最大項，最大項為a₃=$\frac{9}{8}$．

點評 本題主要考查數(shù)列項的最值的求解，根據(jù)條件建立不等式$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥{a}_{n+1}}\\{{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\end{array}\right.$是解決本題的關(guān)鍵．