Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；
（2）若不等式f（x）＞-2x²-3x+1-2a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）當a=1，不等式即（x+2）（x-1）≥0，解此一元二次不等式求得它的解集．
（2）由題意可得 （a+2）x²+4x+a-1＞0恒成立，當a=-2 時，顯然不滿足條件，故有

a+2＞0 △=16-4(a+2)(a-1)＜0

，由此求得a的范圍．
（3）若a＜0，不等式為 ax²+x-a-1＞0，即 （x-1）（x+

a+1

a

）＜0．再根據(jù)1和-

a+1

a

的大小關(guān)系，求得此不等式的解集．

解答：解：（1）當a=1，不等式f（x）≥1即 x²+x-1≥1，即（x+2）（x-1）≥0，解得 x≤-2，或 x≥1，故不等式的解集為{x|x≤-2，或 x≥1}．
（2）由題意可得 （a+2）x²+4x+a-1＞0恒成立，當a=-2 時，顯然不滿足條件，∴

a+2＞0 △=16-4(a+2)(a-1)＜0

．
解得 a＜2，故a的范圍為（-∞，2）．
（3）若a＜0，不等式為 ax²+x-a-1＞0，即 （x-1）（x+

a+1

a

）＜0．
∵1-

a+1

a

=

2a+1

a

，
∴當-

1

2

＜a＜0時，1＜-

a+1

a

，不等式的解集為 {x|-1＜x＜-

a+1

a

}；
當 a=-

1

2

時，1=-

a+1

a

，不等式即（x-1）²＜0，它的解集為∅；
當a＜-

1

2

時，1＞-

a+1

a

，不等式的解集為 {x|-

a+1

a

＜x＜1}．

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．