Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁、x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①若函數(shù)f（x）是f（x）=x²（x∈R），則f（x）一定是單函數(shù)；
②若f（x）為單函數(shù)，x₁、x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若定義在R上的函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，則f（x）一定不是單函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中的真命題的序號(hào)是

②④

．

Answer 1

分析：利用單函數(shù)的定義分別對(duì)五個(gè)命題進(jìn)行判斷，即可得出正確結(jié)論．

解答：解：①若函數(shù)f（x）是f（x）=x²，則由f（x₁）=f（x₂）得

x

2 1

=

x

2 2

，得到x₁=±x₂，所以①不是單函數(shù)，所以①錯(cuò)誤．
②若f（x）為單函數(shù)，則f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，即x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），所以②正確．
③當(dāng)函數(shù)單調(diào)時(shí)，在單調(diào)區(qū)間上必有f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，但在其他定義域上，不一定是單函數(shù)，所以③錯(cuò)誤．
④若函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，則滿足f（x₁）=f（x₂），則有x₁=kT+x₂，所以④正確．
⑤若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，比如f（x）=sinx，是奇函數(shù)，則滿足f（x₁）=f（x₂），則x₁，x₂，不一定相等．所以⑤錯(cuò)誤．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的推導(dǎo)和判斷，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．