Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+1|（a∈R），g（x）＝|2x﹣1|+2.

（1）若a＝1，證明：不等式f（x）≤g（x）對任意的x∈R成立；

（2）若對任意的m∈R，都有t∈R，使得f（m）＝g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）a≤﹣3或a≥1.

【解析】

（1）a＝1時(shí)函數(shù)，利用分段討論法比較f（x）與g（x）的大小即可；
（2）由題意知f（x）的值域包含于g（x）的值域，分別求出f（x）、g（x）的值域，列出不等式求得a的取值范圍.

（1）a＝1時(shí)，函數(shù)f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，

g（x）＝|2x﹣1|+2；

①當(dāng)x≥1時(shí)，2x<2x+1，即f（x）<g（x）；

②當(dāng)x<1時(shí)，2≤2x+1，即；

③當(dāng)﹣1<x時(shí)，2<﹣2x+3，即f（x）<g（x）；

④當(dāng)x≤﹣1時(shí)，﹣2x<﹣2x+3，即f（x）<g（x）；

綜上知，a＝1時(shí),不等式f（x）≤g（x）對任意的x∈R成立；

（2）對任意的m∈R，都有t∈R，使得f（m）＝g（t）成立，

所以f（x）的值域包含于g（x）的值域；

由f（x）＝|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|＝|a+1|，

所以f（x）的值域?yàn)?/span>[|a+1|，+∞）；

又g（x）＝|2x﹣1|+2≥2，

所以g（x）的值域?yàn)?/span>[2，+∞）；

所以|a+1|≥2，即a+1≥2或a+1≤﹣2，解得a≥1或a≤﹣3；

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤﹣3或a≥1.