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已知曲線C的極坐標方程是ρ2（1+3sin2θ）=4，直線l的參數方程是（t為參數）．
（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；
（2）設點M為曲線C上任一點，求M到直線l的距離的最大值．
【答案】分析：（1）由ρ2（1+3sin2θ）=4，知ρ2（cos2θ+4sin2θ）=4，所以x2+4y2=4，由此能求出曲線C的直角坐標方程．由l的參數方程是（t為參數），知，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）設M（2cosθ，sinθ），則M到直線l的距離，由此能求出M到直線l的距離的最大值．
解答：解：（1）∵ρ2（1+3sin2θ）=4，
∴ρ2（cos2θ+4sin2θ）=4，
∴x2+4y2=4，
∴．
∵l的參數方程是（t為參數），
∴，
∴l(xiāng)：x+2y-6=0．
（2）設M（2cosθ，sinθ），
則M到直線l的距離，
∴當，
即時，
．
點評：本題考查曲線C和直線l的直角坐標方程的求法和求M到直線l的距離的最大值．解題時要認真審題，注意參數方程和直角坐標方程的相互轉化，合理地運用點到直線的距離公式進行解題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

2、已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ，那么它的直角坐標方程是
（x-2）2+y2=4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網A（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連接CF交AB于點E．
求證：DE2=DB•DA．
B（選修4-2：矩陣與變換）
求矩陣
21
12
的特征值及對應的特征向量．
C（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，直線l的參數方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
（t為參數）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求MN的最大值．
D（選修4-5：不等式選講）
已知m＞0，a，b∈R，求證：(
a+mb
1+m
)2≤
a2+mb2
1+m
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網（坐標系與參數方程選做題）．
已知曲線C的極坐標方程是ρ=1，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是 
x=-1+4t
y=3t
（t為參數），則直線l與曲線C相交所成的弦的弦長為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•文昌模擬）選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程是ρ=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程
x=1+
t
2
y=2+
3
2
t
(t為參數)．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）設曲線C經過伸縮變換
x′=3x
y′=y
得到曲線C′，設曲線C′上任一點為M（x，y），求x+2
3
y的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（坐標系與參數方程選做題）
已知曲線C的極坐標方程是ρ=6sinθ，以極點為坐標原點，極軸為x的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是
x=
2
t-1
y=
2
2
t
(t為參數），則直線l與曲線C相交所得的弦的弦長為
 
．

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