設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0，
3
)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
，直線l：y=x+1與橢圓交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦MN的長．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0，
3
)，求出b，利用離心率e=
1
2
，求出a，即可求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=x+1，代入橢圓方程3x2+4（x+1）2=12，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），求出|x1-x2|，即可求弦MN的長．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0，
3
)，
∴b=
3
，
∵離心率e=
1
2
，
∴
a2-3
a
=
1
2
，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）直線l：y=x+1，代入橢圓方程3x2+4（x+1）2=12，
整理可得7x2+8x-8=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=-
8
7
，x1x2=-
8
7
，
∴|x1-x2|=
64
49
+
32
7
=
12
2
7
，
∴|MN|=
2
•
12
2
7
=
24
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．若要從身高在[120，130），[130，140），[l40，150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取30人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[120，130）的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在對(duì)某漁業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)研中，從甲、乙兩地出產(chǎn)的該產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取10件，測量該產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．如圖是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖：

規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量≥15毫克時(shí)為優(yōu)質(zhì)品．
（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率（優(yōu)質(zhì)品件數(shù)/總件數(shù)）；
（Ⅱ）從乙地抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P（4，4），圓C：（x-1）2+y2=5與橢圓E：
x2
18
+
y2
2
=1有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切．設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求
AP
•
AQ
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，m∈R．
（Ⅰ）若方程C表示圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若圓C與直線l：4x-3y+7=0相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=2
3
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率為
3
2
的橢圓C1的頂點(diǎn)A1，A2恰好是雙曲線
x2
3
-y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C1上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2．
（1）求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)k1=
1
2
，在焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C1上求一點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線PA2的距離最大．
（3）試判斷乘積“k1•k2”的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)（1，
3
2
）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求弦長|PQ|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)的值域：y=|x+1|-|2x-1|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題：
①直線y=2x在x，y軸上的截距相等；
②參數(shù)方程
x=3sinα
y=3cosα
(α為參數(shù)）表示圓；
③世界上第一個(gè)把π計(jì)算到3.1415926＜π＜3.1415927的人是中國人劉徽；
④拋兩枚均勻的骰子，恰好出現(xiàn)一奇一偶的概率為
1
4
；
⑤滿足||PF1|-|PF2||=2a（a＞0）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．
其中錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是
 
．

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