Question

設正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且

an

2

，

Sn 2

，

an+1

2

數(shù)列n（∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

an

2n

數(shù)列{b_n}中是否存在正整數(shù)對（m，n），當m＜n時使得{b_n}中的三項b₁，b_m，b_n ，成等差數(shù)列．若存在，求出m，n；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

an

2

，

Sn 2

，

an+1

2

成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義可得

Sn

2

=

an

2

×

an+1

2

，化為2Sn=

a

2 n

+an．
當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）由（1）可得b_n=

an

2n

=

n

2n

，設數(shù)列{b_n}中存在正整數(shù)對（m，n），當m＜n時使得{b_n}中的三項b₁，b_m，b_n ，成等差數(shù)列．則2b_m=b₁+b_n．對m分類討論，m=2或3時直接驗證，當m≥4時，f（m+1）-f（m）＜0，可得f(m)=

2m

2m

單調(diào)遞減，進而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵

an

2

，

Sn 2

，

an+1

2

成等比數(shù)列，
∴

Sn

2

=

an

2

×

an+1

2

，化為2Sn=

a

2 n

+an．
當n=1時，2a1=

a

2 1

+a1，且a₁＞0，解得a₁=1．
當n＞2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=(

a

2 n

+an)-(

a

2 n-1

+an-1)，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）由（1）可得b_n=

an

2n

=

n

2n

，
設數(shù)列{b_n}中存在正整數(shù)對（m，n），當m＜n時使得{b_n}中的三項b₁，b_m，b_n ，成等差數(shù)列．
則2b_m=b₁+b_n，∴

2m

2m

=

1

2

+

n

2n

（m＞1）．
當m=2時，

4

4

=

1

2

+

n

2n

，解得n=1或2，都舍去．
當m=3時，

2×3

23

=

1

2

+

n

2n

，化為

n

2n

=

1

4

，解得n=4符合條件．
當m≥4時，f（m+1）-f（m）=

2(m+1)

2m+1

-

2m

2m

=

2-2m

2m+1

＜0，
∴f(m)=

2m

2m

單調(diào)遞減，
∴f(m)≤

2×4

24

=

1

2

，∴

n

2n

≤0，不符合題意．
綜上可知：存在唯一符合題意的正整數(shù)對（3，4）．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項公式、遞推數(shù)列的意義、反證法、數(shù)列的單調(diào)性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．