Question

已知f（x）=log₂

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)對(duì)數(shù)的函數(shù)的定義及真數(shù)大于0．即可求出其定義域．
（Ⅱ）利用函數(shù)的奇偶性的定義證明即可，
（Ⅲ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解得即可，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log₂

1+x

1-x

，
∴

1+x

1-x

＞0，
解得-1＜x＜1，
故f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）
（Ⅱ）f（x）的為奇函數(shù)，理由如下
由（1）知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=log₂

1-x

1+x

=-log₂

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）的為奇函數(shù)
（Ⅲ）∵f（x）＞0
即log₂

1+x

1-x

＞0=log₂1
∴

1+x

1-x

＞1，
解得0＜x＜1，
故x的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的定義域奇偶性以及單調(diào)性以及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．